Oleh: Mawar | September 25, 2008

TRANSFORMASI-Z

BAB VII

TRANSFORMASI-Z

7.1 Pengantar

Kalau pada sistem analog dikenal transformasi Laplace yang merupakan bentuk umum dari transformasi Fourier, dalam sistem diskrit bentuk umum dari transformasi Fourier adalah transformasi-Z. Jika transformasi Laplace sangat membantu dalam menyelesaikan persamaan differensial, transformasi-Z sangat berguna dalam menyelesaikan persamaan beda.

7.1 Definisi Transformasi-z

Transformasi-Z dari sinyal diskrit x(n) didefenisikan sebagai :

X(z) = ….{x(n)} = (7.1)

dimana z adalah variabel komplex yang dapat dituliskan sebagai z = a + jb atau z = r ej, dengan r = dan tg = b/a. Dengan demikian pers. (7.1) juga dapat ditulis dengan :

X(z) = X(rej) = (7.2)

Untuk hal khusus dimana z = r = 1 sehingga z = ej, pers. (7.1) akan berubah menjadi :

X(ej) = (7.3)

yang tidak lain adalah transformasi Fourier dari x(n). Didalam bidang phasor (atau dalam hal ini bidang-z), z = ej akan berupa lingkaran satuan (lingkaran dengan jari-jari r = 1), sehingga sering dikatakan bahwa X(rej) = X(z) pada lingkaran satuan. Atau sebaliknya kita dapat mengatakan X(z) adalah transformasi Fourier dari x(n)r-n. Jadi jelas, oleh karena syarat kovergen dari X(ej) adalah , maka syarat kovergen dari X(z) adalah . Dengan demikian ada kemungkinan bahwa meskipun X(e) tidak kovergen, namun untuk harga r = z tertentu, H(z) kovergen. Sebagai contoh untuk sinyal undak U(n), harga tidak konvergen, namun untuk r = > 1, adalah konvergen. Daerah harga z dimana X(z) kovergen dinamakan daerah konvergen (Region of Convergence; ROC). Dengan demikian transformasi-z dari sinyal undak u(n) mempunyai daerah kovergen z> 1, termasuk z = .

Secara umum daerah konvergen dari fungsi z yang berbentuk deret pangkat seperti pada pers. (2.1) akan dibatasi oleh lingkaran, sehingga secara umum daerah konvergen ditulis sebagai :

R1 < < R2 (7.4)

dimana secara umum batas bawah R1 dapat berharga nol, dan batas atas R2 dapat berharga tak berhingga. Untuk sinyal undak, seperti telah dibicarakan diatas, daerah kovergen dari transformasi-z nya, mempunyai harga R1 = 1 dan R2 = .

Transformasi-z dari sinyal diskrit sering berbentuk pembagian dari fungsi z, yaitu X(z) = P(z)/Q(z). Dalam hal ini akar dari P(z) = 0 dinamakan zero dari X(z), sedang akar dari q(Z) = 0 disebut pole dari X(z). Pole dari X(z) jelas tidak terletak dalam ROC karena harga X(z) untuk z = pole, akan tak berhingga. Perlu dikemukakan (tanpa bukti) bahwa pole akan merupakan batas dari ROC.

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa letak daerah kovergen dari transformasi-z dari suatu fungsi diskrit, baik berupa sinyal x(n) dengan transformasi-z, X(z), atau tanggap impuls h(n) dengan transformasi-z, H(z), akan mempunyai kaitan dengan sifat atau watak dari sinyal/sistem.

Sistem Stabil : Kalau ROC dari H(z) mencakup harga z = 1, yang berarti H(z) z=1 konvergen, atau H(ej) kovergen, maka berarti bahwa sistem adalah stabil.

Sistem Kausal : karena h(n) = 0 untuk n < 0, maka batas integral pada transformasi-z adalah dari 0 hingga sehingga :

H(z) =

Dapat dibuktikan bahwa ROC dari deret seperti ini adalah berada diluar suatu lingkaran. Sebab, andaikan bahwa H(z) kovergen untuk z = z1, sehingga :

maka untuk z2 > z1 deret tersebut tentu juga konvergen, karena setiap sukunya mempunyai harga yang lebih kecil dibandingkan deret untuk z = z1. jadi secara umum untuk sistem stabil, ROC nya dapat ditulis dengan rumus :

z > R1 (termasuk juga z = ).

Contoh 7.1 : Sebuah sistem diskrit mempunyai tanggap impuls h(n) = anu(n), dengan a < 1. tentukan ROC dari H(z) dan jelaskan apakah sistem ini stabil.

Jawab :

H(z) =

Karena z = a adalah pole dari H(z), sehingga merupakan batas dari ROC, dan h(n) adalah kausal, maka ROC adalah z> a (lihat gb. 2.1). Oleh karena a < 1, maka z = 1 terletak dalam ROC, maka disimpulkan sistemnya adalah stabil.

ROC

a

1

Gambar 7.1 Letak pole dan ROC dari contoh 7.1

Sinyal diskrit sisi kanan : yang dimaksud dengan sinyal diskrit x(n) sisi kanan adalah jika x(n) = 0 untuk n < n1, dengan n1 dapat positif, negatif atau nol. Serupa dengan sistem kausal, dapat dibuktikan bahwa sinyal seperti ini, ROC dari X(z) berada diluar suatu lingkaran atau ROC : z> R1, hanya saja jika n1 negatif, misalnya saja n1 = -2, didalam deret X(z) ada suku z dan z2, maka z = tak termasuk daerah konvergen.

Sinyal diskrit sisi kiri : adalah sinyal yang harga x(n) = 0 untuk n > n2. Mudah dibuktikan bahwa ROC : z < R2. Untuk n2 negatif z = 0 termasuk daerah konvergen, sedang kalau n2 > 0, maka z = 0 tak termasuk daerah konvergen.

Sinyal diskrit dua sisi : adalah sinyal yang harganya tidak nol untuk n dari - sampai +. Sinyal ini dapat dianggap terdiri dari dua sinyal, yang satu sisi kiri dan yang lain sisi kanan, sehingga transformasi-z nya dapat ditulis :

X(z) = (2.5)

Deret yang pertama mempunyai ROC : z< R2, sedang deret kedua ROC nya adalah z > R2. Karena ROC dari X(z) merupakan interseksi antara ROC dari kedua deret tersebut, maka X(z) akan konvergen dengan ROC : R1 < z < R2, dan X(z) tidak kovergen untuk semua harga z jika R2 < R1. Selanjutnya x(n) akan merupakan sinyal yang stabil jika z= 1 terletak did alam ROC. Hal ini hanya mungkin jika R1< 1 dan R2> 1.

Sinyal diskrit panjang berhingga : adalah sinyal dengan harga x(n) 0 untuk n1 < n < n2 (n2 > n1). Karena panjangnya berhingga maka untuk 0 < z < , X(z) jelas berhingga. Bahkan kalau n1 dan n2 keduanya positif z = termasuk dalam ROC, dan jika keduanya negatif, z = 0 termasuk dalam ROC.

Contoh 7.2 : Diketahui sinyal x(n) = -an, dan mempunyai harga nol untuk n 0, sehingga dapat ditulis x(n) = -an u(-n-1). Tentukan X(z) dan ROC-nya.

Jawab :

X(z) =

=

Oleh karena x(n) = sisi kiri dan z = a adalah pole, maka ROC : z < a.

Dari contoh 7.1 dan 7.2 dapat disimpulkan bahwa dua runtun waktu yang berbeda dapat menghasilkan transformasi z yang sama, hanya saja dengan ROC yang berbeda. Jadi menuliskan X(z) tanpa memberikan ROC-nya, kita tidak dapat menentukan bentuk sinyalnya. Transformasi-z dari beberapa sinyal sederhana disajikan pada tabel 7.1.

Contoh 7.3 : x(n) = an u(n) – bn u(-n-a). Tentukan X(z) dan ROC-nya.

Jawab : Dari dua contoh sebelumnya, kita dapat langsung menulis :

X(z) =

suku pertama dengan ROC : z> a, sedang suku kedua dengan ROC : z< b. Oleh karena x(n) adalah sisinya dua sisi, maka X(z) akan kovergen dengan ROC : a < z< b, jika a < b, dan X(z) tidak kovergen untuk semua harga z jika b < a. Selanjutnya x(n) akan stabil jika b > 1 dan a < 1, seperti yang terlihat pada Gambar. 7.2.

b

a

b

a

Gambar 7.2. Letak pole dan ROC untuk contoh 7.3

Tabel 7.1 Transformasi-z dari beberapa sinyal sederhana

X(z)

ROC

x(n)

z > a

an u(n)

z < a

-an u(-n-1)

z > a

an-1 u(n-1)

X(z)

ROC

x(n)

z < a

-an-1 u(-n)

z > a

an u(n-1)

z < a

-an u(-n)

z > a

n an-1 u(n)

z > a

n(n-1)an-2 u(n)

z > a

an-1 u(n-1)

z < a

an-1 u(-n)

z > a

an u(n)

z < a

-an u(-n-1)

z > a

(n-1)an-2 u(n-2)

z > a

n an-1 u(n-1)

z < a

-(n-1)an-2 u(-n+1)

z < a

-n an-1 u(-n)

z > a

n (n-1)an-2 u(n-2)

z < a

-n (n-1)an-2 u(-n+1)

X(z)

ROC

x(n)

z < a

n (n-1)…..(n-M+2)an-M+1 u(-n-1)

z < a

-n (n-1)…..(n-M+2)an-M+1 u(-n+M-2)

0 < z < a

-n {(n-1) + an-1 u(-n)}

z > a

an-2 u(n-2)

z < a

{an + bn} u(-n-1)

b>a

a < z < b

{an u(n) – bn u(-n-1)}

z < b

{an + bn}u(-n-1)

7.2. Transformasi-z balik

Tranformasi-z balik sangat berguna misalnya saja untuk mendapatkan tanggap impuls sistem dari persamaan bedanya. Sebagai contoh jika persamaan beda dari sistem mempunyai bentuk :

y(n) = x(n) + b1 x(n-1) + b2 x(n-2) – a1 y(n-1) – a2 y(n-2) (7.6)

maka H(z), transformasi-z dari tanggap impuls h(n), dapat dengan mudah diperoleh dengan melakukan transformasi-z pada persamaan beda tersebut. Dapat dibuktikan bahwa :

Z {x(n – n0)} (7.7)

maka hasil transformasi-z pada pers. beda (7.6) adalah :

Y(z) {1 + a1z-1 + a2z-2} = X(z) {1 + b1z-1 + b2z-2} (7.8)

atau H(z) = (7.9)

Secara umum untuk mendapatkan sinyal diskrit x(n) dari transformasi-z nya, dapat dilakukan dengan beberapa cara.

Integral kontur

Cara ini berdasar atas teorema Integral Cauchy, yang menyatakan bahwa integral kontur :

(7.10)

dimana c adalah lintasan tertutup mengelilingi z = 0, dengan arah putaran lintasan berlawanan dengan arah jarum jam.

Dengan demikian kalau kita lakukan integrasi :

Bagian kanan dari persamaan merupakan penjumlahan dengan n berjalan dari - ke +. Namun semua suku mempunyai harga nol kecuali untuk n = k (atau –n+k = 0), sehingga hasil penjumlahan dari ruas kanan adalah x(k). Dengan demikian kita dapat menuliskan transformasi-z balik sebagai :

x(n) = (7.11)

dimana c adalah lintasan tertutup pada daerah konvergen yang melingkari pusat koordinat. Penyelesaian dari integral tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan formula Cauchy yang menyatakan : jika (z) =X(z)zn-1 mempunyai pole pada z = a, sehingga dapat mempunyai bentuk (z) = W(z)/(z-a), sedang W(z) analitik (kovergen) dalam suatu lintasan tertutup c, yang didalamnya termasuk z = a {(jadi z = a bukan merupakan pole dari W(z)}, maka berlaku :

(7.12)

Harga integral ini akan nol jika z = a berada diluar c. W(c) dinamakan residu dari (z) untuk pola z = a, sehingga secara umum dapat ditulis :

Res {(z) pada pole z = a }= (z-a) (z)z=a = W(z) z=a (7.13)

Jika polenya mempunyai orde=k sehingga (z) = w(z)/(z-a)k, maka residunya adalah :

Res {(z) pada pole z = a } = (7.14)

Jika (z) mempunyai pole lebih dari satu, penyelesaian dari integral (7.12) akan merupakan jumlah residu dari pole-pole tersebut. Ingat bahwa untuk pole di luar kontur tertutup c, harganya adalah nol.

Dengan demikian jika misalnya bentuk dari X/(z)zn-1 adalah :

X(z)zn-1 = (z) = (7.15)

dan semua pole berada di dalam c, maka hasil integrasi adalah :

(z-a) (z) z=a + (z-b) (z) z=b + (z-c) (z) z=c

atau (7.16)

Contoh 7.4 : Tentukan tanggap impuls dari sistem digital stabil yang mempunyai persamaan beda :

2 y(n-1) – 9/2 y(n) + y(n+1) = x(n) (7.17)

Jawab : Dengan melakukan transformasi-z terhadap persamaan beda, kita dapatkan :

Y(z) (2z-1 – 9/2 + z) = X(z)

atau H(z) = (7.18)

Karena sistem stabil, maka z = 1 harus terletak pada daerah kovergen. Dengan demikian ROC dari H(z) adalah: 1/2 < z < 4, dan (z) = H(z)zn-1 = .

Untuk n 0, pole dari (z) ada dua yaitu z = 4 dan z = 1/2, namun yang ada di dalam kontur c hanya z = 1/2, sehingga hanya satu residu.

n 0 : h(n) = (z-1/2) (z)z=1/2 = = -2/7 (1/2)n (7.19)

Sedangkan untuk n < 0, ada dua pole yang berada dalam kontur, yaitu z = 1/2 dan z = 0 yang merupakan pole orde n. Hanya perlu diketahui oleh karena z = 0 merupakan pole orde n, harga residunya untuk setiap harga n berbeda, h(n) untuk setiap harga n perlu dihitung satu persatu. Untuk menghindari hal ini, cara lain yang lebih mudah adalah dengan melakukan substitusi variabel dari z ke p dimana p = 1/z. Hanya saja perlu diperhatikan bahwa dengan transformasi ini :

  1. ROC berubah menjadi : 1/2 < 1/p < 4 atau 1/4 < p < 2

  2. dz = d(1/p) = -1/p dp

  3. p = 1/z; jadi kalau z = rej, maka p = r-1 ej. Ini berarti bahwa kalau phase z naik, maka phase dari p akan turun. Jadi arah kontur pada bidang-p berubah menjadi searah jarum jam.

Dengan substitusi ini transformasi-z balik berubah menjadi :

x(n) = (7.20)

Ingat bahwa arah kontur pada integrasi dengan variabel p di atas adalah searah dengan jarum jam. Mengubah arah kontur pada integrasi akan menyebabkan hasil integrasi berlawanan tanda (plus menjadi minus atau sebaliknya), sehingga dengan demikian :

x(n) = (7.21)

dengan arah kontur berlawanan dengan arah jarum jam.

Untuk contoh 7.4 diatas :

H(1/p) =

Kalau harga ini didistribusikan pada (7.21), maka akan didapat :

h(n) =

Untuk n < 0, hanya ada satu pole yang ada di dalam kontur yaitu p = 1/4, sehingga untuk n < 0 :

h(n) = = -2/7 (1/4)-n = -2/7 (4)n (7.22)

Dengan menggabung penyelesaian untuk n 0 (7.19) dan untuk n < 0 (7.22) penyelesaian h(n) secara komplit adalah :

h(n) = -2/7 {(1/2)n u(n) + (4)n u(-n-1) (7.23)

Pecahan Parsial

Dengan cara ini, jika H(z) dalam bentuk pembagian dari fungsi z, maka H(z) diuraikan menjadi jumlah dari bentuk pembagian yang lebih sederhana (dinamakan pecahan parsial), yang transformasi-z nya ada dalam tabel. Jadi kalau H(z) = P(z)/Q(z), dimana orde dari P(z) lebih kecil dari orde Q(z), maka bentuk ini dapat diubah menjadi :

H(z) = (7.24)

dimana zi adalah akar dari Q(z) = 0. Menurut teorema residu, harga Ai adalah :

Ai = (z-zi) H(z) z=zi (7.25)

Untuk contoh soal 2.4, yang H(z) nya terlihat pada pers. (2.18), dapat diuraikan menjadi :

H(z) =

suku pertama dengan ROC z> 1/2 dan suku kedua z < 4. Dari tabel 1.1, maka

h(n) = -1/7 (1/2)n-1 u(n-1) – 8/7 (1/4)-n+1 u(-n)

= -2/7 (4)n u(-n) – 2/7 (1/2)n u(n-1) (7.26)

Penyelesaian (2.23) adalah sama dengan (2.26), karena :

-2/7 (4)n u(-n) = -2/7 (4) u(-n-1) – (n)

dan -2/7 (1/2)n u(n-1) = -2/7 (1/2) u(n) + 2/7 (n)

Kalau kedua hasil diatas disubstitusikan ke pers. (7.26), maka akan diperoleh hasil yang sama dengan (7.23).

Atau agar pecahan parsial mempunyai bentuk z/(z-z), maka yang diuraikan adalah F(z) = H(z)/z. Untuk contoh 7.4:

F(z) = H(z)/z =

Sehingga dengan demikian :

H(z)/z = -2/7

Dengan mengingat bahwa ROC dari suku pertama z< 1/2 dan suku kedua z4, maka dari tabel 7.1, hasilnya adalah :

h(n) = -2/7 {(1/2)n u(n) + (4)n u(-n-1)}

Kalau akar dari Q(z) = 0, misalnya akar yang ke i = k, mempunyai orde-m, maka pole yang berkaitan dengan akar ini diuraikan menjadi :

dimana Akr =

Contoh 7.5 : Hitung transformasi balik dari

X(z) = ROC: z> 2

Jawab :

F(z) = X(z)/z =

F(z) =

A1 = (z-1/4)F(z) z=1/4 = = -80/343

A23 = (z-2)3 F(z) z=2 = = 12/7

A22 = = -20/49

A21 = = 160/343

Dari tabel 7.1 didapat hasil :

x(n) = {-16/49(1/4)n + 160/343 (2)n – 20/49 n (2)n-1 +12/7 n(n-1) (2)n-2}u(n). Jadi pada bentuk pembagian P(z)/Q(z), orde dari P(z) lebih tinggi dari Q(z), maka terlebih dahulu bentuk tersebut diubah menjadi bentuk :

akzk + ak-1 zk-1 + ….. a1z + P’(z)/Q(z) (7.27)

sehingga orde dari P’(z) sama dengan orde dari Q(z). Selanjutnya transformasi-z balik dari P’(z)/Q(z) dilakukan dengan membentuk F(z)/z = P’(z)/zQ(z), sedang transformasi-z balik dari akzk misalnya saja, adalah ak (n+k).

7.3. Beberapa Sifat Penting dari Transformasi-z

Berikut ini akan dibicarakan beberapa sifat penting dari transformasi-z, termasuk yang secara tidak langsung telah kita singgung pada bagian sebelumnya sebagai resume.

Linearitas

Jika X(z) = Z{x(n)} dengan ROC Rx1 < z < Rx2

dan Y(z) = Z{y(n)} dengan ROC Ry1 < z < Ry2

maka Z{ax(n) + by(n)} = aX(z) + bY(z) = (z)

Dalam hal ini ROC dari (z) adalah daerah tumpang-tindih (overlap) antara ROC dari (z) dan Y(z), ROC dari (z) ada kalau dipenuhi :

RX2 > RY1 dan RX1 < RY2

atau RY2 > RX1 dan RY1 < RX2

Pergeseran Sinyal

Z {x(n-k)} = (z) = z-k X(z) (7.28)

ROC dari (z) sama dengan ROC X(z), dengan perkecualian untuk beberapa fungsi pada z = 0 dan z = . Sebagai contoh Z{(n)}= 1, yang konvergen untuk semua harga z, tetapi Z{(n-1)}= 1/z, tidak kovergen untuk z = 0, dan Z{(n+1)}= z, tidak konvergen untuk z = .

Perkalian dengan Fungsi Eksponensiel

Z {an x(n)} = (z) = X(z/a) (7.29)

Jika ROC dari X(z) adalah R1 < z< R2, maka ROC dari (z) adalah R1 < z/a< R2. Dengan perkalian ini semua pole zk dari X(z) akan berubah menjadi zk/a.

Perkalian dengan fungsi linier

Z {nx(n)}= (z) = -z (7.30)

bukti : -z

ROC dari (z) sama dengan ROC dari X(z).

Dengan cara ini kita dapat membuktikan bahwa rumus pada tabel 2.1 baris ke 5, yaitu : Z{nan-1 u(n)}= atau Z{nan u(n)}=

bukti: dari tabel 7.1 baris ke 1 diketahui bahwa :

Z{nan-1 u(n)}= dengan ROC : z> a

sehingga Z{nan u(n)}= -z

atau Z{nan-1 u(n)}=

Komplex Konjugate

Secara umum x(n) dapat berharga komplex, sedang oleh karena z = rej, maka z* = rej, sehingga :

X* (z*) =

= (2.31)

ROC (z) sama dengan ROC X(z)

Konvolusi Jumlah

Jika w(n) =

dengan substitusi variabel dari n m dengan m = n-k atau n = m+k, maka dapat ditulis :

W(z) =

atau W(z) = X(z) Y(z) (7.32)

ROC dari W(z) adalah daerah interseksi antara ROC X(z) dan Y(z).

Sebaliknya kalau w(n) merupakan perkalian antara x(n) dan y(n), yaitu w(n) = x(n)y(n), maka dapat dibuktikan bahwa W(z) akan merupakan konvolusi integral antara X(z) dan Y(z), yaitu :

W(z) = (7.33)

About these ads

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Kategori

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: